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In mwcggeometria solida, l'mwcwottaedro è un mwdapoliedro con otto facce mwdqtriangolari. L'mwdgottaedro regolare è uno dei cinque mwdwsolidi platonici, le cui facce sono mweatriangoli equilateri. Ha sei mweqvertici e dodici mwegspigoli.

• Area e volume

• Coordinate cartesiane

• La costruzione di Euclide

• Poliedro duale

• Simmetrie

• Tassellazioni

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

L'mwfgarea mwfw A {\displaystyle A} di superficie e il mwgavolume mwgq V {\displaystyle V} dell'ottaedro regolare il cui spigolo ha lunghezza mwgg a {\displaystyle a} e la diagonale ha lunghezza mwgw d = a 2 {\displaystyle d=a{\sqrt {2}}} sono date da:

mwhg A = 2 3 a 2 ≈ ≈ 3 , 46410162 a 2 ; {\displaystyle A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3,46410162a^{2};}

mwia V = 1 6 d 3 = 1 3 2 a 3 ≈ ≈ 0 , 471404521 a 3 . {\displaystyle V={1 \over 6}d^{3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0,471404521a^{3}.}

Il volume è 4 volte quello di un mwigtetraedro regolare con spigoli di lunghezza mwiw a {\displaystyle a} , mentre l'area di superficie è il doppio (poiché è formata da 8 mwjatriangoli equilateri, contro i 4 del tetraedro)

L'mwjgangolo diedrale dell'otteadro regolare ècite-ref-1[1]

mwlq arccos ⁡ ⁡ ( − − 1 3 ) ≈ ≈ 109 , 47122 ∘ ∘ , {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109,47122^{\circ },}

dove mwlw arccos {\displaystyle \arccos } è la funzione mwmaarcocoseno.

Un ottaedro regolare nello mwmwspazio euclideo mwna R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} può essere mwnqtraslato in modo da avere il centro nell'origine, e dopo opportune mwngrotazioni e mwnwsimilitudine ha i 6 vertici in

mwog ( ± ± 1 , 0 , 0 ) , {\displaystyle (\pm 1,0,0),}

mwpa ( 0 , ± ± 1 , 0 ) , {\displaystyle (0,\pm 1,0),}

mwpg ( 0 , 0 , ± ± 1 ) . {\displaystyle (0,0,\pm 1).}

Nel libro XIII dei suoi mwsqElementi, mwsgEuclide descrive il metodo per inscrivere un ottaedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia mwta A B {\displaystyle AB} (vedi Fig. 1) il diametro della sfera data; si trovi il suo punto medio mwtq D {\displaystyle D} e si tracci un semicerchio di centro mwtg D {\displaystyle D} e raggio mwtw D A {\displaystyle DA} . Si alzi la perpendicolare da mwua D {\displaystyle D} , determinare il punto mwuq C {\displaystyle C} sulla mwugcirconferenza e infine si congiungano i punti mwuw A C {\displaystyle AC} e mwva C B {\displaystyle CB} .

Si replichi la stessa costruzione sui tre piani passanti per mwvg A B {\displaystyle AB} con angolo diedro di 90°, 180° e 270° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti mwvw C E , E F , F G {\displaystyle CE,EF,FG} e mwwa G C {\displaystyle GC} .

È chiaro che i vertici mwwg A , C , E , F {\displaystyle A,C,E,F} e mwww G {\displaystyle G} si trovano sulle semicirconferenze costruite sul diametro mwxa A B {\displaystyle AB} , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli che partono dai vertici mwxq A {\displaystyle A} e mwxg B {\displaystyle B} sono uguali fra loro; ma anche gli spigoli mwxw C E , E F , F G {\displaystyle CE,EF,FG} e mwya G C {\displaystyle GC} hanno la stessa lunghezza: infatti tutti gli spigoli dell'ottaedro risultano essere ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono raggi della sfera.

Per quanto riguarda il rapporto fra diametro della sfera spigolo dell'ottaedro inscritto, per il mwygteorema di Pitagora il quadrato costruito sullo spigolo è doppio del quadrato costruito sul raggio della sfera; di conseguenza il quadrato costruito sul diametro è doppio del quadrato costruito sullo spigolo.

Il mwzqpoliedro duale dell'ottaedro regolare è il mwzgcubo.

L'ottaedro ha 24 mwaqsimmetrie mwagrotazionali, cioè che preservano l'mwaworientazione dello spazio, più altre 24 simmetrie che non la preservano. Il mwbagruppo di simmetria dell'ottaedro consta quindi di un totale di 48 elementi.

Il mwbgsottogruppo dato dalle 24 rotazioni è mwbwisomorfo al gruppo mwca S 4 {\displaystyle S_{4}} delle mwcqpermutazioni di 4 elementi. Vi è infatti esattamente una rotazione che realizza ogni possibile permutazione delle 4 coppie di facce opposte.

Il gruppo totale di simmetria è isomorfo al prodotto mwcw S 4 × × Z / 2 Z {\displaystyle S_{4}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } di mwda S 4 {\displaystyle S_{4}} con un mwdqgruppo ciclico con 2 elementi.

L'ottaedro regolare non genera da solo una mwgqtassellazione dello spazio, perché i suoi angoli diedrali non sono divisori di 360°. Ne genera una però in combinazione con il mwggtetraedro, come mostrato in figura.

cite-note-11. ↑ mwiqmwigTomasi,mwiw p. 16

• citereftomasiSandra Berencoli e Luigi Tomasi, I poliedri regolari: un tema di geometria dello spazio rivisitato con Cabri-géomètre (PDF), Istituto Regionale di Ricerca, Sperimentazione, Aggiornamento Educativi dell’Emilia Romagna, 1996. URL consultato il 24 marzo 2025.

• mwkgSolido platonico

• mwlaOttaedro troncato

• mwlgOttaedro iperbolico

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «ottaedro»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'ottaedro

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Octahedron, su MathWorld, Wolfram Research.

| Bipiramide | Bipiramide digonale | Bipiramide triangolare (Vedi: J 12 ) | Bipiramide quadrata (Vedi: O ) | Bipiramide pentagonale (Vedi: J 13 ) | Bipiramide esagonale | Bipiramide ettagonale | Bipiramide ottagonale | Bipiramide ennagonale | Bipiramide decagonale | ... | Bipiramide apeirogonale |

|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|

| Immagine del poliedro | | | | | | | | | | ... | |

| Immagine della tassellatura sferica | | | | | | | | | | Immagine della tassellatura del piano | |

| Incidenza | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |

| Diagramma di Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | | ... | |